Exponentielle complexe
Définition :
L'ensemble
muni de la multiplication est un groupe isomorphe à
par l'application
que l'on note
.
Exponentielle complexe :
.
L'exponentielle complexe a les mêmes propriétés algébriques que l'exponentielle réelle :
.
Fondamental :
Formule de Moivre :
.
Fondamental :
Formules d'Euler :
et
.
Définition :
Si
est un entier naturel, les racines
èmes d'un complexe
sont les solutions de l'équation
.
Si
, il y a une unique solution
.
Si
et
, il y a
solutions :
où
.
L'ensemble
des racines n-èmes de l'unité est un groupe (pour
) commutatif, cyclique engendré par
.
La somme des racines
èmes de l'unité est nulle.
Si
est une racine
ème de
, les autres racines
èmes de
sont obtenues en multipliant
par les racines
èmes de l'unité.
