Roulement sans glissement
Katia Barré
Juin 2004
On se propose de chercher une représentation paramétrique d'un chemin qui permet de faire rouler sans glisser une roue C (que l'on suppose aussi régulière que nécessaire) de telle sorte que son moyeu (au départ en O) évolue sur l'axe horizontal (Ox).
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On suppose l'existence d'un tel
chemin.
On représente la roue en
polaire : Le point de contact initial entre la roue et le chemin est en (x=0,y=r(-p/2)). On note H(q)=(x(q),y(q)), avec -p/2£q, une représentation paramétrique du chemin, de sorte que le point courant de la roue M(q) de coordonnées polaires (r(q),q) , vienne coïncider avec H(q) lors du roulement. Montrer que En déduire que
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| Les coordonnées x et y de H sont
ainsi déterminées : on connaît à présent une représentation paramétrique du chemin. La calculer à l'aide de Maple dans le cas d'une roue en forme de cardioïde d'équation polaire r=1+sin q . Le paramètre q étant fixé, donner une représentation paramétrique (X(t),Y(t)) de la roue tournée correspondant à ce q. Écrire une fonction Maple
roue:=(t,u)->... rouetourne:=animate([roue(t,u),u=0..2*Pi],t=-Pi/2..3*Pi): d'animer différentes positions successives de la roue. Faire tracer avec Maple simultanément cette animation et le chemin, comme dans l'exemple ci-dessus.
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Vous pouvez à présent reprendre
le jeu dans le cas de courbes à votre fantaisie :
le carré la fleur r=1+cos 3q, ou encore les limaçons de Pascal r=r+sin q, en choisissant différentes valeurs de r, etc... selon votre imagination. Attention, n'oubliez pas que dans nos calculs, r est supposé positif.
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et 
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puis
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