Fonctions exponentielles et logarithmes
Une situation géométrique conduisant à des équations différentielles

Introduction

Durée : 60 minutes

Niveau : moyen

Dans cet exercice, on considère des fonctions dérivables sur un intervalle , dont la dérivée ne s'annule pas sur . On note la courbe représentative dans un repère orthonormal .

Soit appartenant à , et le point d'abscisse de ; on appelle normale à en la droite passant par et perpendiculaire à la tangente en .

On appelle :

  • le projeté de sur l'axe des abscisses,

  • l'intersection de la tangente en et de l'axe des abscisses,

  • l'intersection de la normale en et de l'axe des abscisses.

1) Faire un graphique pour quelques fonctions et faire évoluer sur la courbe. Etablir des conjectures sur les vecteurs et et la position de selon la fonction choisie.

On pourra par exemple étudier les fonctions suivantes (liste non exhaustive) :

Java Vous pouvez utiliser l'outil suivant pour établir vos conjectures (Java - env. 31Ko)

Outil

2) Déterminer les équations de la tangente et de la normale en , puis les coordonnées de , , , et en fonction de .

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3) Déterminer toutes les fonctions telles que soit un vecteur constant.

Vérifier votre résultat avec l'outil logiciel.

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4) Déterminer toutes les fonctions telles que soit un vecteur constant.

Vérifier votre résultat avec l'outil logiciel.

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5) Déterminer toutes les fonctions telles que soit fixe.

Vérifier votre résultat avec l'outil logiciel.

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