Limite, Continuité, Dérivée, Sens de Variation

Position relative d'une courbe et de sa tangente en un point

Introduction

Durée : 50 minutes

Niveau : moyen

Position relative d'une courbe et de sa tangente en un point

L'objectif de cet exercice est l'étude de la position de la courbe représentative d'une fonction et de la tangente à au point .

1) Soit une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle ( et existent ) telle que pour tout , .

On note la fonction définie sur par est la fonction dont la représentation graphique ( ) est la tangente à la représentation graphique de en un point ().

a. Calculer et à l'aide des variations de déterminer le signe de .

b. Montrer que la courbe représentative de est au-dessus d'une quelconque de ses tangentes.

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2) Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle et telle que pour tout , .

Montrer que la courbe représentative de est en dessous de l'une quelconque de ses tangentes.

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3) On considère la fonction définie sur par .

a. Déterminer , étudier les variations de puis tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormal (unité de longueur 5cm).

b. Déterminer la fonction dérivée seconde de puis étudier son signe sur .

c. On désigne par le réel unique de tel que et le point de coordonnées .

Préciser la position de la représentation graphique de par rapport à ses tangentes sur chacun des intervalles et ; quelle est la position de la représentation graphique de par rapport à sa tangente ( ) en . Placer ( ).

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