Limite, Continuité, Dérivée, Sens de Variation

Résolution d'une équation fonctionnelle

Introduction

Durée : 50 minutes

Niveau : difficile

Résolution d'une équation fonctionnelle

Le but de cet exercice est de trouver l'ensemble des fonctions solutions d'une équation fonctionnelle.

On note les fonctions définies sur R, dérivables en 0 et qui vérifient, quels que soient les réels et , .

1) Existence d'une fonction solution

Vérifier que la fonction définie sur R par est une solution.

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2) Recherche des fonctions solutions

a. désignant une fonction solution, pour réel, soit la fonction définie sur R* par ; démontrer que .

b. désignant une fonction solution, justifier que puis en déduire que pour tout réel , .

c. En déduire que si est une fonction solution, alors pour tout , .

Aide méthodologique
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3) Réciproquement, vérifier que toute fonction définie par avec constante réelle est une solution.

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