Limite, Continuité, Dérivée, Sens de Variation

Résolution d'une équation différentielle

Introduction

Durée : 90 minutes

Niveau : très difficile

Résolution d'une équation différentielle

On note les fonctions dérivables sur R qui vérifient, pour tout , .

est appelée une équation différentielle. On admet qu'il n'existe qu'une seule fonction solution de vérifiant ; le but de l'exercice est de trouver des propriétés de qui permettent d'établir son tableau de variation et l'allure de sa courbe.

1) Observer, à l'aide d'une machine à calculer, le champ des tangentes des fonctions solutions, et la représentation graphique approchée de la solution vérifiant .

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2) A l'aide d'un tableur et de la méthode d'Euler, étant la solution de vérifiant , observer des valeurs approchées de pour , , le pas étant égal à 0,01.

Comparer avec les valeurs approchées de tan-1 (x) (sur les tableurs, cette fonction se note généralement ATAN).

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3) Etablir le tableau de variations de pour ; en déduire l'allure de la représentation graphique de .

Solution détaillée

Résolution d'une équation différentielle (2)

Soit la fonction vérifiant : pour tout , et .

1) Etude de la parité de :

On note la fonction définie sur R par .

Calculer .

Justifier que pour tout , puis en déduire que est impaire.

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2) Recherche des images , , :

On note la fonction définie sur par .

Calculer h(0).

Justifier que pour tout , et que ; en déduire les valeurs de , , .

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3) Etude de la limite en :

Soit la fonction définie sur par .

Justifier que pour tout , et que .

En déduire que .

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