Produit scalaire dans l'espace - Droites et plans de l'espace - S'exercer : intersection de plans et résolution de systèmes de 3 équations à 3 inconnues

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Produit scalaire dans l'espace - Droites et plans de l'espace

S'exercer : intersection de plans et résolution de systèmes de 3 équations à 3 inconnues

1) L'espace est muni d'un repère orthonormal .

Quelle est l'intersection des plans d'équations respectives et ?

Aide méthodologique

Considérer le système comme un système de deux équations à deux inconnues permet par exemple de calculer et en fonction de .

Solution détaillée

Les vecteurs normaux à ces deux plans ont pour coordonnées et et ne sont pas colinéaires. Les plans se coupent donc selon une droite qui est représentée par le système :

En posant , on obtient :

On reconnaît un système d'équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées et dirigée par le vecteur de coordonnées .

2) Résoudre dans le système :

Aide méthodologique

On peut déterminer l'intersection des plans d'équations respectives et , puis, si cette intersection est une droite , déterminer l'intersection de avec le plan d'équation .