On appelle abscisse curviligne du point
de la courbe
le nombre algébrique
dont la valeur absolue est égale à la longueur de l'arc curviligne
et dont le signe est celui du sens de parcours de
On utilise les notations et hypothèses. On va déterminer maintenant l'expression de
. On sait déjà par définition que
puisque
est choisi comme origine.
Pour continuer on se ramène aux longueurs que l'on sait calculer, c'est à dire les longueurs de segments de droites. On fait l'hypothèse naturelle suivante, si
et
) sont 2 points de la courbe, si on note
la distance de
à
et
la longueur du segment curviligne
alors ces deux infiniment petits sont équivalents , c'est à dire que
. Voir figure \ref {fig2}
On suppose que la courbe est orientée dans le sens des
croissants et que
est strictement positif. On a alors :
d'où :
On obtient la même expression quand
est négatif.
On choisit donc maintenant
de signe quelconque et on fait tendre
vers zéro, on obtient donc en utilisant les résultats sur les limites :
En appliquant l'hypothèse naturelle énoncée précédemment, cette limite vaut
, donc on obtient :
.
On a donc :
