Équations différentielles
Cours
Définition

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre, une équation de la forme

est une fonction définie sur ou une partie de .

On appelle équation homogène (ou équation sans deuxième membre) associée à l'équation

Cette équation est résolue de manière rigoureuse dans l'exercice de TD.

Sa solution est

est une constante quelconque et une primitive de .

Théorème

La solution générale de peut s'écrire sous la forme

est la solution générale de l'équation homogène et est une solution particulière de l'équation "avec second membre'' .

(La démonstration de ce théorème est donnée en exercice.)

Par exemple, on veut résoudre l'équation

  • On résout l'équation homogène :

    On remarque que est solution, on cherche maintenant les solutions non nulles, on peut donc diviser par .

    On obtient En prenant une primitive, on a donc

    , ou ce qui est équivalent en appliquant la fonction exponentielle :

    La constante est une constante strictement positive ou strictement négative.

    On peut résumer en écrivant . Pour on obtient la solution nulle, pour , on a , pour , on a .

    On a obtenu ainsi toutes les solutions de l'équation homogène. On dit que est la solution générale de l'équation homogène.

  • Une solution particulière de est, par exemple, (le vérifier !).

  • Enfin, la solution générale de l'équation est