Vidange d'un réservoir
Soit un réservoir dont le fluide s'échappe par un orifice étroit. Le réservoir est assez grand pour que l'on néglige les variations de niveau de la surface libre pendant le temps
et que l'on puisse considérer le mouvement permanent. Le fluide est considéré comme parfait.
A la sortie, le jet présente une section contractée où les lignes de courant sont parallèles et pratiquement rectilignes.
Question
1 - Calculer la vitesse au point M à la sortie de l'orifice.
2 - Calculer le temps de vidange.
1- Appliquer la relation de Bernoulli entre le point A de la surface libre et le point M.
2 - Ecrire que le volume évacué pendant le temps
est égal à la diminution de volume dans le réservoir.
1 - Calculer la vitesse au point M à la sortie de l'orifice
Il existe une ligne de courant ente le point A situé à la surface libre et le point M dans la section de sortie, on peut donc appliquer la relation de Bernouilli entre ces deux points :
En considérant les conditions d'écoulement, on a :
. En outre, comme la section du réservoir est grande par rapport à celle de l'orifice, la vitesse en A est négligeable par rapport à celle de M : V_A = 0 (il suffit d'appliquer la conservation du débit pour s'en rendre compte). En intégrant ces données dans l'équation, on obtient :
D'où
2 - Calculer le temps de vidange
On exprime que le volume évacué pendant le temps
est égal à la diminution de volume dans le réservoir soit :
Le volume évacué pendant le temps
est égal à : qvdt où qv est le débit volumique.
La diminution de volume dans le réservoir est :
où
est la section du réservoir et
la variation de hauteur dans le réservoir pendant le temps
Le débit volumique est égal à :
. Dans cette expression
est le coefficient de contraction (la section du jet à la sortie est
et
la vitesse du fluide au niveau de l'orifice.
L'égalité s'écrit :
On obtient :
Soit en remplaçant V par sa valeur :
Pour une vidange complète, l'intégration entre h_A et zéro donne :
