Equilibre d'un liquide en rotation
Soit un vase de rayon R contenant un liquide dont la surface libre est initialement à la hauteur h. On fait tourner le vase autour de son axe Oz à la vitesse angulaire ω.
Question
Trouver les surfaces isobares et l'équation de la surface libre.
Bien choisir le référentiel, faire le bilan des forces.
Appliquer la relation fondamentale de la statique des fluides .
Trouver les surfaces isobares
Par rapport à un repère tournant autour du réservoir
, le liquide est au repos et est soumis aux forces :
Ecrivons l'équation fondamentale de la statique :
On obtient :
Puis
Soit en intégrant :
Les isobares sont déterminées avec
d'où
Ce sont des paraboloïdes de révolution de même axe que l'axe de rotation.
Cherchons l'équation de la surface libre
On a :
Calculons le volume occupé par le liquide dans 2 cas :
Il y a conservation du volume, on obtient :
Soit après intégration :
Si
, alors
