Classes de (Zp,+)
Ici, vous pouvez visualiser les classes induites par les sous-groupes de
, qui sont tous générés par un élément. Cliquez donc sur un élément de ligne ou de colonne de la table d'addition de
, vous verrez ainsi le sous-groupe engendré en rouge (ne prenez pas
un nombre premier sinon tout le groupe sera rouge), qui est la classe de l'élément neutre
. Si tout le groupe n'est pas engendré, les autres éléments (en particulier l'élément
), n'appartenant pas au sous-groupe engendré, sont colorés différemment, suivant leur classe.
La classe d'un élément
suivant le sous-groupe
est
, c'est-à-dire les éléments dont la différence avec
est dans le sous-groupe
.
Ces classes partitionnent le groupe en ensembles disjoints. Sur la partie droite, la table d'addition est donnée une nouvelle fois, mais rangée par classes. On voit ainsi que les classes se composent par addition, la somme de deux éléments, chacun dans une classe donnée, est toujours dans la même troisième classe ce qui est illustré par des règles comme "vert
bleu=rouge". Ainsi, en regroupant les éléments par classes, on obtient une table d'addition plus simple, celle du groupe quotient.
Remarque : Classes suivant le sous-groupe nul
En choisissant le sous-groupe réduit à l'élément neutre
, chaque classe est un singleton, elles sont aussi nombreuses que les éléments !
En cliquant sur
, au contraire, tout le groupe est engendré : il n'y a qu'une seule et unique classe.
