L'addition de deux éléments
Nous savons que est un groupe. Nous savons également que pour des groupes , leur produit cartésien
muni de la loi de composition
est un groupe, appelé le groupe produit.
Ainsi, avec l'addition composante par composante est un groupe.
L'appliquette suivante illustre cette loi d'addition des vecteurs de vus comme des points du plan.
Vous pouvez bouger les points et . On voit que l'addition s'interprète géométriquement comme la construction de la diagonale d'un parallélogramme.
En poussant les boutons suivants, vous pourrez constater ce qui se passe, quand le point coïncide avec l'élément neutre du groupe (c'est-à-dire quand ), ou bien quand coïncide avec l'inverse de (c'est-à-dire quand .
Remarquons que l'élément neutre est et l'inverse de est .